Finance, Markets and Valuation
DOI:
10.46503/PGSK3415
Corresponding author
Javier Ribal
Recibido: 16 Mar 2018
Revisado: 25 Abr 2018
Aceptado: 16 May 2018
Finance, Markets and
Valuation
ISSN 2530-3163.
Finance, Markets and Valuation Vol. 4, Num. 1 (Enero-Junio 2018), 41–57
Caso de estudio: modelización de la vida útil de
maquinaria destinada a proyectos de obra pública a
través de la aplicación de regresiones mínimo
cuadráticas y validación cruzada
Case study: model for economic lifetime of public
construction machinery with ordinary least squares
regression and cross validation techniques
David Postiguillo
1
, Javier Ribal
ID
2
, Ana Blasco
ID
3
1
Departamento Economía y Ciencias Sociales. Universitat Politècnica de Valéncia. Valencia,
España. Email: daposgar@upvnet.upv.es
2
Departamento Economía y Ciencias Sociales. Universitat Politècnica de Valéncia. Valencia,
España. Email: frarisan@esp.upv.es
3
Departamento Economía y Ciencias Sociales. Universitat Politècnica de Valéncia. Valencia,
España. Email: ablascor@upvnet.upv.es
JEL: C51; C52; M41
Resumen
El comportamiento del valor de los activos productivos se puede analizar desde diferentes perspectivas.
En la actualidad se plantea un análisis de la influencia que presenta la antigüedad de un activo respecto
a su precio de venta a través del acceso a un volumen de información masivo, así como la aparición de
nuevas tecnologías que permiten llevar a cabo cálculos computacionales complejos. El núcleo de este
trabajo se centra en el análisis del valor de la maquinaria de obra pública y construcción por pertenecer
este grupo de activos a empresas de un sector que registró un descenso muy negativo en la evolución de
sus rendimientos (a causa de la crisis económica iniciada en el año 2007). Mediante modelos de regresión
lineal, exponencial y potencial, se analiza el comportamiento del precio de venta de los activos en función
de su antigüedad. Previamente se procesa la base de datos con el objetivo de eliminar los datos anómalos
mediante la técnica de la Desviación Absoluta sobre la Mediana. Se presenta por lo tanto un coeficiente
de depreciación básico (basado únicamente en el paso del tiempo), el cual se contrasta mediante la
aplicación de técnicas de validación cruzada.
Keywords: Amortización; Maquinaria; Regresión; validación cruzada.
Abstract
The behavior of the value of productive assets can be analyzed from dierent perspectives. Currently, an
analysis of the influence of the age of an asset on its asking price through access to a mass information
volume, as well as the emergence of new technologies that allow complex computations to be carried out.
Cómo citar este artículo: Postiguillo, D., Ribal, J., Blasco, A. (2018) Caso de estudio: modelización de la
vida útil de maquinaria destinada a proyectos de obra pública a través de la aplicación de regresiones
mínimo cuadráticas y validación cruzada. Finance, Markets and Valuation 4(1), pp. 41–57.
41
Finance, Markets and Valuation Vol. 4, Num. 1 (Enero-Junio 2018), 41–57
The core of this work focuses on the analysis of the value of public works machinery and construction
because this group of assets belong to companies in a sector that suered a very negative decline in the
evolution of their profits (because of the economic crisis started in 2007). Applying linear, exponential
and potential regression models, the behavior of the asking price of assets based on their age is analyzed.
Previously the database is processed in order to eliminate the outlier data using the technique of Median
Absolute Deviation. Therefore, a basic depreciation rate (based solely on the passage of time) is presented,
which is contrasted by the application of cross-validation techniques.
Keywords: Depreciation; Machinery; Regression; Cross validation.
1 Introducción
Uno de los principales aspectos que dificultan la gestión operativa de las pequeñas y me-
dianas empresas, consiste en conocer y determinar la depreciación que sufren sus activos
productivos. En este sentido, los métodos de amortización fiscal y contablemente aceptados,
se basan en unos coeficientes teóricos que en ocasiones se alejan de la verdadera depreciación
sufrida por estos activos.
A través de dichos coeficientes, el valor contable de los activos alcanza un valor cero o un
valor residual, inicialmente convenido al finalizar la vida útil teórica.
Sin embargo, si se cambia la perspectiva, se puede hallar un modelo de amortización más
apropiado conociendo la evolución del valor de mercado de los activos en su vida útil y a partir
de dicho valor, su depreciación (Guadalajara-Olmeda y Fenollosa-Ribera, 2010). El acceso a
información masiva permite trabajar con técnicas de regresión, con el objeto de obtener una
valoración más precisa y real de los activos a lo largo de su vida útil.
La generación de estos modelos puede resultar ampliamente compleja, puesto que existen
multitud de variables a través de las cuales se puede analizar la evolución del valor de los
activos, a través de su antigüedad, marca, modelo, color, motor, etc.
En concreto, en el presente estudio se plantea el análisis de la depreciación de la maquinaria
destinada al sector de la obra pública, perteneciente al mercado de segunda mano, también
conocido como mercado de ocasión, únicamente desde la perspectiva del paso del tiempo. La
importancia de conocer el valor de estos activos es diversa:
Permite determinar la dimensión de la maquinaria dentro de la industria de la construcción.
Una elevada intensidad en este tipo de inmovilizado supondría una mayor repercusión de
los gastos de mecanización sobre el proceso productivo.
Determinar la depreciación es uno de los aspectos más controvertidos para los empresarios.
Determinar la vida útil real de la maquinaria es óptimo para establecer los periodos de
renovación oportunos.
Con esta maquinaria usada es posible determinar un modelo predictivo, por una parte, se
dispone de información suministrada por aquellas empresas que deseen vender sus activos
(presentan unos precios de venta) y, por otra parte, hay compradores que deciden adquirirlas
en subastas especializadas, es decir, se conoce el valor de mercado (Silva Palavecinos, 2011).
En concreto, la crisis económica en España repercutió en un periodo de destrucción em-
presarial y de decrecimiento, siendo uno de los sectores más afectados el de la construcción.
Esta circunstancia provocó que muchas empresas procedieran con la venta de sus activos, a
través de procesos concursales o subastas. La infrautilización de estos recursos productivos
afectó a su valor. En el periodo 2008-2017, según consta en el Directorio Central de Empresas
de España (DIRCE), hubo un descenso del 35,23 % en el número de empresas especializadas en
la construcción.
David Postiguillo y cols. 42
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Debido a ello existe una gran cantidad de maquinaria de obra pública en venta. Esta situa-
ción unida a los avances tecnológicos, que permiten analizargrandes cantidades de información
como nunca antes había sido posible, facilitan la construcción de modelos que sirven para
determinar el comportamiento de la depreciación de estos activos en función de diversas
variables. Habitualmente el coste de reposición neto o valor depreciado se asume mediante
modelos de depreciación constante o lineal, o mediante la técnica de los números dígitos
(crecientes o decrecientes). Todos estos modelos son un instrumento materializado a través
del Plan General Contable (PGC, 2007). De modo que la amortización legal de un activo, no
refleja el verdadero desgaste que el mismo ha sufrido.
Existe amplia bibliografía que analiza el comportamiento del valor de determinados ac-
tivos según diferentes variables explicativas, tal y como se refleja en el estudio de Peacock
y Brake (1970), McNeill (1979), Leatham y Baker (1981), Hansen y Lee (1991) o Cross y Perry
(1995). En España también hay algunos estudios que tratan este tema, como en Fenollosa y
Guadalajara Olmeda (2007), donde se analiza la depreciación de maquinaria agrícola.
El principal objetivo de este estudio consiste en determinar la validez del coeficiente de
depreciación obtenido mediante el uso de técnicas de validación cruzada.
2 Metodología
2.1 Datos utilizados
La base de datos generada para obtener el valor de mercado de maquinaria de obra pública
ha sido obtenida mediante el empleo de técnicas de web scraping. Específicamente se ha con-
sultado páginas web donde se publican precios de mercado de este tipo de activos. El estudio
se ha realizado a través de consultas a www.europa-mop.com. Esta web está especializada en
la compraventa de maquinaria de construcción y obras públicas.
La información suministrada en dicha página web permite obtener de manera categorizada
los datos procedentes de los anuncios publicados para cada tipo de activo. Más específicamente,
se dispone del registro de la marca, modelo, precio de venta, fecha de antigüedad, ubicación
(provincia) donde se encuentra el activo, así como la fecha en la que ha sido publicado el
anuncio.
No obstante, esta investigación se centra únicamente en analizar el precio de venta y la
antigüedad del activo.
La investigación se ha centrado, por lo tanto, en el siguiente grupo de activos:
1. Bulldozers.
2. Compactadores.
3. Excavadoras de cadenas.
4. Excavadoras de ruedas.
5. Mini excavadoras.
6. Niveladoras.
La obtención de los datos se corresponde a la fecha de agosto de 2015.
2.2 Breve referencia a los métodos de amortización contablemente aceptados
La amortización contable del inmovilizado consiste en cuantificar el coste económico que
tiene para la empresa la depreciación del inmovilizado que conforma su patrimonio. Así la
dotación a la amortización del inmovilizado se transforma en un gasto contable que aminora el
resultado de la empresa.
Cualquier activo fijo, que pasa a formar parte de la estructura de la actividad de una sociedad
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sufre como consecuencia del paso del tiempo una depreciación o pérdida de valor. Esta pérdida
puede producirse por dos motivos:
El bien se deteriora como consecuencia de su uso.
El bien sufre una obsolescencia tecnológica como consecuencia de la aparición de nuevos
equipos o procedimientos que dejan obsoleto el activo que se posee.
Según la legislación española, existen unos requisitos adicionales que se deben tener
en cuenta para que la amortización contable sea considerada como un gasto fiscalmente
deducible:
1. Que la dotación a la amortización esté contabilizada.
2. Que la anterior dotación se haya calculado a través de los siguientes métodos:
Dotación lineal o de cuotas fijas.
Porcentaje constante sobre la base de amortización decreciente.
Método de números dígitos (crecientes o decrecientes).
Plan especial de amortización aprobado por la Administración Tributaria.
Justificación de su importe ante la Administración Tributaria ejercicio a ejercicio.
Se fundamenta en la aplicación de los coeficientes de amortización fijados en la tabla
oficialmente aprobada por la Ley 27/2014, de 27 de noviembre, del Impuesto sobre Sociedades,
que los porcentajes aplicables a los activos fijos (maquinaria) son: coeficiente máximo de
amortización lineal (12 %), periodo máximo de años en los que se puede amortizar (18 años).
2.3 Tratamiento de los datos anómalos (“outliers”)
Los datos anómalos consisten en observaciones de la población que son sospechosas, en
tanto que representan registros mucho menores o mucho mayores respecto al resto de las
observaciones, Cousineau y Chartier (2010). Estos datos son peligrosos puesto que pueden
distorsionar los resultados de los estudios que se están llevando a cabo, ya que puede que
alteren las relaciones entre el precio de venta y la antigüedad de los activos.
Generalmente se trabaja con la media y la desviación típica. No obstante, los investigadores
se encuentran con la problemática de localizar e identificar los puntos anómalos, que de un
modo cuantitativo están alterando el resultado de los estadísticos que emplean para obtener
conclusiones que posteriormente se inferirán al resto de la población.
Una buena práctica consiste en generar un intervalo a través del dato medio de la muestra
más/menos dos veces la desviación estándar.
Sin embargo, desde que se ha demostrado que tanto el dato de la media como el de la
desviación típica son sensibles a los puntos anómalos, este método presenta problemáticas.
Como respuesta a esta situación se presenta el método de la desviación absoluta de la
mediana estandarizada, una medida alternativa más robusta de la dispersión, Leys, Ley, Klein,
Bernard, y Licata (2013).
El MAD quedaría definido como:
M AD = bM
i
|x
i
− M
j
(x
j
)|
(1)
Donde la
x
j
es el número original de observaciones y
M
i
es la mediana de la serie. Nor-
malmente, el parámetro de la
b = 1, 4826
, es una constante, asumida de la normalidad de
los datos, en contra de la anormalidad inducida por los datos anómalos (Rousseeuw y Croux,
1993).
David Postiguillo y cols. 44
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2.4 Modelos de regresión
Se trabaja con modelos de regresión mínimo cuadráticos a través de los cuales se plantea
el coeficiente de depreciación de la maquinaria.
Con la finalidad de poder analizar los distintos modelos de valoración, se realiza una poste-
rior validación de los mismos, Guerschman y cols. (2015). Existen diversas técnicas para validar
los métodos de regresión, como son la comparación de los parámetros obtenidos con los obte-
nidos a través de modelos físico-teóricos, utilizar nuevos conjuntos de datos conocidos para
comparar con los obtenidos o el uso de técnicas de validación cruzada, Kozak y Kozak (2003).
Los modelos de regresión por mínimos cuadrados son generalmente usados para analizar la
relación existente entre dos o más variables.
Más específicamente, en el ámbito de la economía, estos modelos son aplicados con el
objetivo de estudiar el comportamiento de una variable (variable dependiente o explicada) en
función del valor de las variables independientes o explicativas. Esto se realiza con el propósito
de establecer predicciones y estimaciones.
En este artículo, la variable explicada corresponde al precio de los activos productivos
(máquinas de obra pública de segunda mano), y la variable explicativa a emplear corresponde
al factor temporal (antigüedad).
La ecuación 2 muestra la representación de un modelo de regresión lineal simple, donde
Y
es la variable dependiente (precio de venta “V”),
X
es la variable independiente (antigüedad
“t”),
β
0
,
β
1
, ...,
β
n
son los parámetros del modelo o coeficientes de regresión, y
es el error del
modelo.
Y = β
0
+ β
1
X
1
+ β
2
X
2
+ . . . β
n
X
n
+ (2)
Esta ecuación se transforma en un modelo ajustado de regresión lineal simple, donde
ˆ
Y
es
el valor estimado dada la variable independiente
X
. Los estimadores de los parámetros del
modelo son calculados por el método de los mínimos cuadrados ordinarios.
ˆ
Y =
ˆ
β
1
X
1
+
ˆ
β
2
X
2
+ . . .
ˆ
β
n
X
n
(3)
El modelo establece como variable dependiente el precio de venta de los activos (V) y
como variable explicativa o independiente el paso temporal, la antigüedad (t). Sin embargo, el
objetivo del estudio consiste en obtener un modelo de depreciación el cual debería ofrecer el
valor de mercado de estos activos una vez conocida su antigüedad. De este modo el precio de
venta es la mejor aproximación que se dispone como valor de mercado, aunque sobre dicho
precio de venta pudieran realizarse algunos ajustes por negociación, Peña (2000).
Partiendo de esta base, surgen algunas variaciones y se obtienen modelos de regresión
exponencial o semi-logarítmicos, y modelos de regresión potencial.
El modelo de regresión exponencial viene dado por la siguiente ecuación predictora:
V = a × e
β t
(4)
Si se toman logaritmos para ambos términos de la ecuación:
l n (V ) = β t + l n (a) (5)
Y se puede estimar
l n (V )
y de ahí obtener
a
y
β
, aplicando los métodos de los mínimos
cuadrados.
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Por otra parte, la regresión potencial tiene por ecuación predictora:
V = a × t
β
(6)
Tomando logaritmos en ambos miembros queda:
l og (V ) = l og (a) + β l og (t ) (7)
En este tipo de regresiones,
β
tiene la interpretación de la elasticidad, ya que un cambio
del 1 % en “t” se asocia con un cambio de β % en V .
Coeficiente de determinación R
2
El coeficiente de determinación
R
2
mide la proporción de la variación de la respuesta
V
que es explicada por el modelo. El coeficiente
R
2
se calcula usando la ecuación 8, donde SSR
es la medida de la variabilidad del modelo de regresión y
S ST
corresponde a la medida de
variabilidad de V sin considerar el efecto de la variable explicativa t.
R
2
=
S S
R
S S
T
=
Í
n
i =1
ˆ
V
i
−
¯
V
2
Í
n
i =1
V
i
−
¯
V
2
, 0 ≤ R
2
≤ 1 (8)
Si el valor de
R
2
se aproxima a la unidad, entonces se está ante un modelo que presenta un
buen ajuste, y la regresión es capaz de explicar adecuadamente la relación y variación de la
variable dependienteV , Astorga Gómez (2014).
2.5 Validación cruzada
Existen diversas técnicas para validar los métodos de regresión, como son la comparación
de los parámetros obtenidos con los hallados a través de modelos físico-teóricos o con simula-
ciones, utilizar nuevos conjuntos de datos conocidos para comparar con los resultados o el uso
de técnicas de validación cruzada. Las técnicas que se emplean en este estudio se basan en
este último grupo. Concretamente en el método hold-out con n repeticiones.
El método hold-out es uno de los métodos básicos de entre los distintos existentes para
aplicar la validación cruzada. Este separa el conjunto de datos disponibles en dos subconjuntos,
uno utilizado para entrenar el modelo (training set) y el otro para realizar el test de validación
(testing set), Arlot y Celisse (2010). De esta manera, se crea un modelo únicamente con los
datos de entrenamiento. Con el modelo creado se obtienen los resultados que se comparan
con el conjunto de datos reservados para realizar la comprobación (los cuales no han sido
utilizados en el entrenamiento, por lo tanto, no han contribuido a la obtención del mismo,
Hawkins, Basak, y Mills (2003). Sin embargo, este tipo de análisis depende en gran medida
sobre qué datos entran a formar parte del subconjunto de entrenamiento y cuáles van a ser
del subconjunto de validación. Los resultados de este análisis pueden ser significativamente
distintos en función de cómo se realiza la partición.
Los estadísticos obtenidos con los datos del subconjunto de validación son los que dan la
validez del método empleado, en términos de error.
Una aplicación alternativa de este método consiste en repetir el proceso hold-out, tomando
distintos conjuntos de datos de entrenamiento (aleatorios) un determinado número de veces,
de manera que se calculan los estadísticos de la regresión a partir de la media de los valores en
cada una de las repeticiones.
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Grupo de
máquina
Bulldoz Compact Excav.
cadenas
Nivelad. Mini
excavad.
Excav.
ruedas
Datos brutos 1.010 678 1.859 332 885 451
Datos depurados
727 523 1.681 209 795 407
% Eliminación 28,02 % 22,86 % 9,58 % 37,05 % 10,17 % 9,76 %
Lin
a 54.978,10 15.693,39
64.428,40
68.367,34 24.065,64 52.413,43
b -1.130,02 -107,95 -2.210,86 -1.110,17 -919,94 -1.841,72
R
2
0,21 0,01 0,30 0,21 0,20 0,52
Exp
a 10,93 9,50 11,11 11,12 10,08 11,10
b -0,03 -0,01 -0,06 -0,03 -0,06 -0,08
R
2
0,21 0,01 0,30 0,21 0,20 0,52
Pot
a 11,30 9,82 11,64 11,30 10,29 12,35
b -0,33 -0,19 -0,51 -0,25 -0,33 -0,90
R
2
0,21 0,01 0,30 0,21 0,20 0,52
Tabla 1. Coeficientes regresiones por mínimos cuadrados
Coeficientes depreciación
Grupo de máquina Modelo lineal Modelo Exponencial Modelo potencial
Bulldozers -0,0206 0,9677 -0,3338
Compactadoras -0,0069 0,9903 -0,1876
Excavadoras de cadenas -0,0343 0,9442 -0,5078
Niveladoras -0,0162 0,9723 -0,2525
Mini excavadoras -0,0382 0,9463 -0,3299
Excavadoras de ruedas -0,0351 0,9275 -0,9044
Tabla 2. Coeficientes regresiones por mínimos cuadrados
3 Resultados
Tras analizar la base de datos completa (todos los grupos de maquinaria estudiados), los
modelos de regresión planteados ofrecen los resultados que se presentan en la Tabla 1.
A través de estos parámetros se procede con el cálculo del coeficiente de depreciación por
grupo de activo y considerando la perspectiva de la regresión empleada (lineal, exponencial o
potencial).
De modo que para obtener los coeficientes de depreciación se despeja:
Modelo lineal :
b
a
; Modelo exponencial : eb; Modelo potencial : b (9)
Si se analiza con detalle el coeficiente de determinación de cada uno de los modelos plantea-
dos, se observa como el tipo de maquinaria que presenta un mejor ajuste es el correspondiente
a “excavadoras de ruedas”, y en concreto a través de una regresión semi-logarítmica (tam-
bién conocida como exponencial). Las “excavadoras de cadenas” analizadas a través de una
regresión potencial presentan el segundo mejor ajuste.
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Figura 1. Distribución de las observaciones correspondientes a la maquinaria clasificada como
“excavadora de ruedas”
David Postiguillo y cols. 48
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Figura 2. Distribución de las observaciones correspondientes a la maquinaria clasificada como
“excavadora de cadenas”
Tanto la Figura 1 como la Figura 2 muestran la dispersión de las observaciones correspon-
dientes a cada grupo de activos representados “excavadoras de ruedas” y “excavadoras de
cadenas”. En ambos casos se refleja una tendencia exponencial negativa en el comportamiento
del precio de venta sobre el paso del tiempo, si bien hay unos matices diferenciadores en cuanto
al comportamiento del precio de venta en los años iniciales y en los años ubicados hacia el
final de su vida útil.
Es decir, la maquinaria correspondiente a las “excavadoras de ruedas” presenta un coefi-
ciente obtenido por regresión lineal del 3,51 %. Aplicando este coeficiente, la vida útil de este
tipo de activos se situaría en los 28,45 años. Su depreciación anual sería constante a lo largo de
los 28,45 años. En el caso de las “excavadoras de cadenas”, este coeficiente se sitúa en el 3,43 %
(es decir, su vida útil, considerando una amortización constante y lineal, ascendería hasta los
29,15 años).
No obstante, si se analiza el modelo de regresión exponencial, las “excavadoras de ruedas”
(con mayor coeficiente de determinación hallado 61 %), presentan un coeficiente de deprecia-
ción de 0,9275. De modo que, ante un ejemplo de “excavadoras de ruedas” con un precio de
adquisición de 1.000,00 euros, en los cinco primeros años de vida útil presentarían un valor
sobre el precio inicial del 68,62 %, en el décimo año este porcentaje desciende hasta el 47,09 %,
en el veinteavo año se situaría en el 22,17 %. Finalmente, en torno a los 50 años, se diría que
este activo tan solo tendría un 2,32 % del valor inicial.
En paralelo, los cálculos correspondientes a las “excavadoras de cadenas” (con un
R
2
David Postiguillo y cols. 49
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Figura 3. Modelos de regresión aplicados al grupo de activos de “excavadoras de ruedas”
Figura 4. Modelos de regresión aplicados al grupo de activos de “excavadoras de cadenas”
David Postiguillo y cols. 50
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de 32 %), determinan el coeficiente de depreciación en el 0,9442. Es decir, con un precio de
adquisición de 1.000 euros, en los cinco primeros años de vida útil, presentarían un valor sobre
el precio inicial del 75,04 %, en el décimo año el valor supondría un 56,32 % sobre el precio
inicial y en torno a los 50 años, se diría que este activo tan solo representaría un 5,66 % del
valor inicial. Es decir, las “excavadoras de cadenas” presentan un ritmo de amortización menos
intenso, y su vida útil es ligeramente superior a las “excavadoras de ruedas”.
Con el coeficiente hallado a través del modelo potencial (con un
R
2
del 54,80 %), las “exca-
vadoras de ruedas” sufrirían un deterioro mucho más acelerado. En el quinto año de vida útil,
el valor sobre el precio inicial sería tan sólo de un 23,33 %.
En cambio, las “excavadoras de cadenas” a través del modelo potencial (con un
R
2
del 32 %,
como el obtenido en el modelo exponencial), presentarían un coeficiente de depreciación del
-0,5078, es decir, en el quinto año de vida útil, el valor sobre el precio inicial representaría un
44,16 %.
Se considera que el modelo exponencial es el que mejor ajusta el comportamiento del
precio de venta respecto a la e volución del paso del tiempo.
Llegados a este punto, se desea comprobar la robustez en el cálculo de los coeficientes
de depreciación hallados mediante el modelo de regresión exponencial. Considerando que
las “excavadoras de ruedas” presentan un mejor coeficiente de determinación, se realiza la
comprobación sobre este grupo de activos.
Las muestras, procesadas y depuradas de datos anómalos se parten en dos submuestras
nuevas; unas denominadas entrenamiento (es sobre la que se va a realizar el ensayo) y otras
denominadas validación (es la que sirve de base para probar los resultados obtenidos en la
denominada “entrenamiento”).
Se fija un nivel “p” que determina la proporción retenida para las muestras que compondrá
el “entrenamiento”, Pérez-Planells, Delegido, Rivera-Caicedo, y Verrelst (2015). Con el objetivo
de obtener unos resultados contrastados y fiables, el nivel “p” se va a establecer partiendo del
10 % y se incrementará con intervalos del 10 % sucesivamente hasta alcanzar el 90 %.
Posteriormente se procede con el cálculo de las diferencias obtenidas entre los coeficientes
de depreciación en las muestras de entrenamiento y los coeficientes de depreciación obtenidos
en las muestras de validación.
De modo que:
Di f . ( %)C oef .dep . =
C oef .depr eci aci ón
SE
C oef .depr eci aci ón
SV
− 1 (10)
siendo:
SE = submuestra entrenamiento
SV = submuestra validación
Cuanto más se acerque dicha diferencia a 0, mayor será el ajuste del coeficiente de depre-
ciación entre las muestras de entrenamiento y las muestras de validación.
Estas diferencias se hallan para cada nivel de partición realizado (10 % - 90 %).
Esta técnica de validación cruzada se aplica con un total de 1000 repeticiones (1000 fold),
en el cual se obtiene el coeficiente de depreciación de las “excavadoras de ruedas” y de las
“excavadoras de cadenas” en función del tiempo, para cada una de las muestras. Se trata de un
coeficiente de depreciación básico, en el cual no se tienen en consideración otras variables que
inciden en el valor de la maquinaria (como por ejemplo mantenimiento, seguros, reparaciones,
mejoras, etc.).
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Finance, Markets and Valuation Vol. 4, Num. 1 (Enero-Junio 2018), 41–57
Figura 5. Validación cruzada por nivel de partición. Excavadoras de ruedas
Tras generar dichas 1000 iteraciones, se obtiene una distribución normal ante las diferencias
halladas por los coeficientes entre ambas submuestras.
En la Figura 5 se observa la distribución de la diferencia existente de los coeficientes de
depreciación entre la muestra entrenamiento y la muestra validación para cada nivel de parti-
ción aplicado. Se observa que ante niveles de partición de la submuestra de entrenamiento
extremos (10 % o 90 %), las diferencias existentes entre los coeficientes de depreciación de
las dos submuestras tienden a ser superiores. Prueba de ello es la amplitud del histograma
de frecuencias. Mientras que, en los niveles de partición centrales (50 %), la amplitud de la
campana tiende a estrecharse.
Conociendo la distribución del sesgo entre los coeficientes de ambas muestras según el nivel
de partición aplicado, se plantea la Tabla 3, de modo que se halla el coeficiente de depreciación
medio para la submuestra de entrenamiento y sobre dicho coeficiente se aplica la diferencia
calculada para el extremo del -2’50 % en el histograma de frecuencias de “Diferencias” así como
para el extremo del 2,50 %.
El coeficiente de depreciación medio para la submuestra validación se obtiene a través de
la ecuación 11:
C oef .depr ec. medi o
SV
=
C oef .depr eci aci ón
SE
Sesg o + 1
(11)
El coeficiente de depreciación ubicado en el límite inferior se obtiene aplicando al coefi-
ciente de depreciación medio el sesgo obtenido en el percentil +2,50 %, ya que este percentil
positivo indica cuanto puede llegar a ser superior el coeficiente de depreciación de la submues-
tra entrenamiento respecto al coeficiente de depreciación de la submuestra validación.
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Finance, Markets and Valuation Vol. 4, Num. 1 (Enero-Junio 2018), 41–57
Nivel
partición
Coef. Dep.
SE
Coef. Dep.
SV
p -0,025 p +0,025 Coef. Lími-
te sup.
Coef. Lími-
te inf.
10 % 0,92625 0,92739 -0,02284 0,02298 0,94790 0,90544
20 % 0,92744 0,92721 -0,01689 0,01697 0,94337 0,91196
30 % 0,92729 0,92726 -0,01400 0,01457 0,94045 0,91398
40 % 0,92720 0,92729 -0,01410 0,01399 0,94046 0,91441
50 % 0,92710 0,92740 -0,01406 0,01350 0,94032 0,91475
60 % 0,92745 0,92697 -0,01370 0,01503 0,94033 0,91372
70 % 0,92748 0,92679 -0,01476 0,01646 0,94137 0,91246
80 % 0,92736 0,92667 -0,01636 0,01797 0,94282 0,91102
90 % 0,92747 0,92532 -0,02234 0,02557 0,94866 0,90435
Tabla 3. Coeficiente depreciación SE y SV por nivel de partición. Excavadoras de ruedas
Niveles de partición
Coeficiente depreciación 10 % 50 % 90 %
Entrenamiento 681,76 684,91 686,28
Validación 685,98 686,02 678,36
Diferencia (términos absolutos) -4,22 -1,10 7,93
Tabla 4. Impacto en términos absolutos del sesgo en los coeficientes de depreciación entre la SE y SV
Por contraposición, el coeficiente de depreciación ubicado en el límite superior se obtiene
aplicando al coeficiente de depreciación medio de la submuestra de entrenamiento el sesgo
obtenido en el percentil -2,50 %, ya que este percentil indica cuanto menor puede llegar a
ser el coeficiente de depreciación de la submuestra de entrenamiento en comparación con el
coeficiente de depreciación de la submuestra de validación.
En términos generales se observa como los coeficientes de depreciación entre ambas sub-
muestras tienden a ser semejantes, no obstante, existen diferencias notorias en los coeficientes
hallados cuando el nivel de partición de datos para generar la submuestra de entrenamiento
se sitúa en el 10 % y en el 90 %.
En términos económicos, la Tabla 4 muestra el grado de ajuste del coeficiente de deprecia-
ción hallado en la submuestra de entrenamiento sobre el coeficiente correspondiente en la
submuestra de validación, para el caso de una excavadora de ruedas con un precio de venta de
1.000,00 euros, y con 5 años de antigüedad.
Es decir, cuando se halla el coeficiente de depreciación en la submuestra de entrenamiento,
usando un nivel de partición del 10 %, el coeficiente de depreciación hallado (0,9262) ofrecería
un valor para la excavadora de ruedas de 681,76 euros tras cinco años de vida útil (sobre un
precio inicial de 1.000,00 euros); mientras que, si se aplica el coeficiente de depreciación
medio obtenido en la submuestra de validación, este importe ascendería a 685,98 euros. Se
concluye por lo tanto que el coeficiente de depreciación de la submuestra de entrenamiento
está amortizando en una mayor proporción el valor de la maquinaria que lo que realmente está
ocurriendo en la submuestra de validación.
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Figura 6.
Límites inferior y superior del coeficiente de depreciación en SE y SV por nivel de partición en el
coeficiente de depreciación de las excavadoras de ruedas mediante regresión exponencial
Si este estudio se aplica con un nivel de partición del 90 % para la submuestra de entrena-
miento, el coeficiente de depreciación (0,9274) ofrecería un valor para la excavadora de ruedas
de 686,28 euros, mientras que el coeficiente de depreciación de la submuestra de validación
(0,9253) daría como resultado 678,36 euros. En esta ocasión, con la submuestra de entrena-
miento se estaría recogiendo un nivel de amortización inferior al que sucede en la submuestra
de validación.
Se observa que con un nivel de partición del 50 %, los coeficientes de depreciación de
las excavadoras de ruedas tienden a converger en ambas submuestras, por lo que quedaría
contrastado el modelo. El coeficiente de depreciación medio se situaría en 0,9271.
Si no se consideran los niveles de partición 10-40 y 60-90 y se toma únicamente el nivel de
partición 50 %-50 % se concluye con un coeficiente de depreciación medio comprendido entre
dos bandas (inferior y superior) en el que oscilaría el ritmo de amortización debido al paso del
tiempo.
4 Discusión
El caso de estudio muestra cómo es posible determinar el comportamiento de la depre-
ciación de la maquinaria en función de su edad empleando información de mercado. Los
resultados son diferentes según el tipo de maquinaria y modelo, pero se aprecia claramente la
importancia de la variable edad en todos los tipos.
Por otro lado, la validación cruzada proporciona una alternativa para la evaluación del
rendimiento o robustez de un modelo cuando no hay suficientes datos, a través de la técnica
de la reutilización de la muestra. Se divide un conjunto de datos en dos partes, subconjunto
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Finance, Markets and Valuation Vol. 4, Num. 1 (Enero-Junio 2018), 41–57
de entrenamiento y subconjunto de validación (Hastie, Tibshirani, y Friedman, 2009). Es bien
sabido que probar un algoritmo y evaluar su desempeño estadístico en los mismos datos con-
duce a un resultado excesivamente óptimo. Las técnicas de validación cruzada se desarrollaron
para abordar este tipo de problemas basándose en el concepto de que el ensayo y error y
probar el resultado de un algoritmo sobre nuevos datos conduciría a una mejor estimación de
su rendimiento. La idea básica es que, si un modelo de predicción es válido, también debería
predecir con eficacia los resultados esperados en una segunda muestra de la misma población
(Widman, 2011).
Mediante la validación de los modelos de regresión aplicados, se obtiene robustez estadísti-
ca que permite la aplicación de los coeficientes de depreciación obtenidos para determinados
grupos de activos. Disponer de información de mercado en tiempo real, y de modelos informá-
ticos que actualicen los cálculos, supone un avance matemático que permitiría una imputación
más real de la verdadera depreciación de los activos productivos. De este modo se evitaría la
infravaloración o sobrevaloración del inmovilizado de las pequeñas y medianas empresas.
5 Conclusiones
El Ministerio de Economía y Hacienda emite un listado en el que se especifican la vida útil,
valor residual y márgenes en las cuotas anuales de amortización para diferentes tipos de activo.
El enfoque de estos listados es principalmente fiscal, y no refleja la verdad amortización o
depreciación sufrida por los activos.
Debido a que la amortización depende de la vida útil, del valor residual y en algunos casos,
del valor de reposición, solo se pueden realizar estimaciones o predicciones sobre las mismas.
El uso e impacto de los costes de amortización en los sistemas productivos, y su importancia
en términos estratégicos para los empresarios, hacen imprescindible llevar a cabo una revisión
de los métodos de amortización existentes y plantear alternativas que ajusten de una forma
más real la depreciación que sufren estos activos.
Con el acceso a un volumen de información cada vez mayor, unido a las nuevas tecnologías
que permiten el análisis de grandes cantidades de datos, se puede obtener a través de modelos
de regresión, unos coeficientes de amortización que se ajusten con mayor precisión a la realidad
del mercado.
A tal fin se han aplicado técnicas de regresión lineal, exponencial y potencial sobre un
conjunto de activos relacionados con la maquinaria de obra pública. Tras llevar a cabo los
análisis y observar los coeficientes de determinación, se concluye que el grupo de maquinaria
relacionada con las excavadoras de ruedas presenta un grado de ajuste
R
2
superior al resto del
grupo de activos en el modelo de regresión exponencial. No obstante, se analiza también el
grupo de maquinaria de excavadoras de cadenas. Con el estudio llevado a cabo se detecta como
este segundo grupo de maquinaria presenta una vida útil ligeramente superior a las excavadoras
de ruedas. Los motivos de esta diferencia son técnicos, y aquí se abriría una nueva línea de
investigación, en la que se analicen otros factores relevantes para determinar la depreciación y
el estado de conservación de la maquinaria.
Para contrastar y validar el modelo de regresión planteado en este estudio se han empleado
técnicas de validación cruzada. Mediante el uso de este método se observa que ante un nivel de
partición del 50 % para generar la submuestra de entrenamiento, el resultado correspondiente
al coeficiente de depreciación medio prácticamente coincide con el coeficiente de depreciación
medio de la submuestra de validación, por lo que quedaría contrastado el coeficiente. Se puede
asumir, por lo tanto, que el coeficiente hallado a través de dicho modelo de regresión predice
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Finance, Markets and Valuation Vol. 4, Num. 1 (Enero-Junio 2018), 41–57
con un grado de precisión elevado el comportamiento del deterioro de las excavadoras de
ruedas asociado únicamente al paso del tiempo.
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