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increases. Additionally, it is shown that an increase in the number of securities also increases the stability of the Beta of the investment portfolios over time

Keywords: Portfolio diversification; Risk management; IBEX 35

1. Introducción

Los inversores en activos financieros pueden adoptar diversas estrategias de inversión, como la gestión pasiva (García et al., 211 y 2013), la especulación con activos individuales (Oliver & García, 2020) o la gestión de carteras de títulos (García et al., 2020 TEDE). El presente trabajo se enmarca dentro de esta última estrategia de inversión, la gestión de carteras. Una de las cuestiones clave en los mercados bursátiles, que afecta especialmente a los inversores más conservadores o adversos al riesgo, es sin duda conocer el número de títulos necesario de una cartera de inversión para poder conseguir una diversificación razonable en las carteras de inversión.

La idea de que cuanto mayor sea el número de títulos se conseguirá incrementar los beneficios de la diversificación, está en general muy extendida. Sin embargo, esta percepción de una relación directamente proporcional entre el número de títulos de una cartera y los beneficios de la diversificación es una simplificación del problema. Averiguar el número óptimo de títulos de una cartera de inversión es, sin duda, una cuestión relevante que, como se describe en el apartado siguiente, ha sido ampliamente estudiada. Esta cuestión es también importante porque al aumentar la diversificación de una cartera, se incrementan los costes de gestión y transacción, lo que disminuiría, por tanto, la eficiencia de la cartera.

El riesgo financiero se define como la desviación o incertidumbre relativa a la rentabilidad esperada de una determinada inversión en un periodo de tiempo. Esta incertidumbre viene dada por la probabilidad de que se provoquen una serie de circunstancias negativas que repercutan en los rendimientos de una inversión.

La diversificación de carteras de inversión es uno de los métodos generalmente aceptados y aplicados en los mercados financieros por parte de los inversores para reducir el riesgo financiero de su cartera. Se entiende por diversificación a la acción de invertir en distintos activos con el objetivo de minimizar el riesgo de una cartera, sin necesidad de renunciar a su rentabilidad esperada.

El primer autor en poner de relieve esta cuestión fue Harry Markowitz, que en 1952 formuló la Modern Porfolio Theory (MPT). Uno de los aspectos más importantes de su modelo fue su descripción del impacto que tiene la diversificación de una cartera sobre el riesgo (Mangram, 2013). Markowitz manifestó que el riesgo de la cartera no dependía únicamente de las varianzas individuales de los rendimientos de los títulos que forman una cartera, si no también de las correlaciones existentes entre sí. Por tanto, según el modelo de Markowitz, el riesgo de una cartera viene determinado por su volatilidad, medida mediante: la rentabilidad esperada del activo, su varianza, su desviación típica y las covarianzas existentes entre los títulos que la forman. Una desviación típica mayor, indica mayor riesgo y requiere una rentabilidad esperada también mayor. En resumen, en el modelo de Markowitz una cartera es eficiente cuando se optimiza su binomio media-varianza.

A raíz del estudio de Markowitz (1952), surgieron otros modelos que contribuyeron a expandir los conceptos del Modern Porfolio Theory (MPT). Entre ellos destacan los desarrollados por William Sharpe que resultan clave para entender este trabajo. Tal y como introdujo William Sharpe (1964) en su Modelo de Mercado o

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Modelo de Sharpe, el riesgo total de un activo se divide en dos componentes: riesgo no sistemático o diversificable y riesgo sistemático o no diversificable. El riesgo no sistemático o diversificable consiste en el riesgo específico de un activo, asociado a las condiciones de una empresa en particular y no correlacionado con los movimientos generales del mercado. Este riesgo puede reducirse significativamente a través de la diversificación ya que, incorporando un número mayor de títulos en la cartera, se elimina el peso de su riesgo individual sobre el total. Sin embargo, por muchos títulos que se incluyan en una cartera, este tipo de riesgo nunca puede eliminarse completamente porque las rentabilidades de los activos que conforman una cartera siempre estarán correlacionadas en mayor o menor medida. Por su parte, el riesgo sistemático o no diversificable, también conocido como riesgo de mercado, es común a todas las empresas puesto que se origina por factores macroeconómicos, y tiene efecto sobre ellas, ya sea en mayor o menor medida. Algunos de estos factores son las tasas de interés, el desempleo o la inflación. Constituye la parte del riesgo total de una acción que no se puede eliminar mediante la diversificación y, por lo tanto, es inherente a la misma

El objetivo principal de este trabajo es evaluar la evolución promedio del riesgo sistemático (y, por tanto, el no sistemático) a medida que aumenta la cardinalidad de las carteras con la intención de comprobar cómo los beneficios de incrementar la diversificación empiezan a ser marginales conforme la inclusión de nuevos títulos se va acercando al mayor valor de N.

El estudio que se presenta a continuación se estructura de la siguiente manera. En la siguiente sección se presenta la revisión de la literatura. En la sección 3 se muestran las ecuaciones que definen el riesgo sistemático y el no sistemático y se describe la metodología. La sección cuarta comenta el proceso de selección de los datos que se emplean en el estudio. La siguiente sección presenta y discute los resultados obtenidos. Finalmente, la sexta sección recoge las principales conclusiones del trabajo.

2. Revisión de la literatura

Son varios los autores que han estudiado a lo largo del tiempo los beneficios de la diversificación de carteras y, aunque la mayoría llegó a la conclusión de que invertir en 10-15 títulos era suficiente para conseguir una diversificación razonable, existen opiniones dispares.

Evans y Archer (1968), fueron de los primeros autores en estudiar qué número de acciones a incluir en una cartera de inversión podría ser el óptimo a la hora de eliminar su riesgo. Es decir, a partir de cuantos títulos dejaba de ser beneficioso diversificar. Este estudio lo realizaron con 470 títulos del índice Standard & Poors en el año 1958. Dado que su conclusión tamaño-riesgo resultó ser un número relativamente pequeño, de 10 títulos concretamente, varios autores decidieron analizar dicha cuestión a partir de este estudio.

Por un lado, Solnik (1974) decidió utilizar el método aplicado por Evans y Archer (1968) para estudiar los beneficios que pudieran surgir a partir de la diversificación internacional. Tras componer de manera aleatoria varias carteras compuestas entre 1 y 50 títulos, también llegó a la conclusión de que con una cartera compuesta por 10- 15 títulos, se llegaba a eliminar un 90% del riesgo diversificable o no sistemático. Sin embargo, también puso de relieve las diferencias que podían existir entre países

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debido a factores económicos, ya que, por ejemplo, los beneficios de la diversificación no eran los mismos en Alemania que en Francia.

Wagner y Lau (1971) demostraron que una cartera formada por 100-200 títulos, eliminaba entre un 81% y un 96% el riesgo diversificable, mientras que una formada únicamente por 20, ya llegaba a eliminar entre el 80-90%.

Por otro lado, contradiciendo a estos autores, Statman (1987) afirmaba que se necesitan incluir entre 30 y 40 títulos para considerar que una cartera está bien diversificada.

Además, una aportación importante a la medida de riesgo es el modelo que utilizaron Surz y Price (2000). Estos autores basaron su estudio en el que previamente habían desarrollado Fisher y Lorie (1970) para la New York Stock Exchange (NYSE) entre los años 1926-1965, según el cual el 95% de los beneficios de la diversificación se conseguían invirtiendo en una cartera de 30 títulos. Statman (1987) coincide con ellos que se necesitan incluir entre 30 y 40 títulos para considerar que una cartera está bien diversificada. Sin embargo, Surz y Price (2000) cuestionaron que los cálculos realizados por estos autores fueran del todo adecuados y volvieron a realizar los cálculos sobre acciones de la NYSE en el periodo entre 1986-1999. Así pues, Fisher y Lorie evaluaban únicamente la reducción del riesgo total medida por la desviación típica, sin diferenciar entre sistemático y no sistemático. Surz y Price (2000) repitieron sus cálculos utilizando el 𝑅2 y el tracking error como medida de riesgo no diversificable. Finalmente llegaron a la conclusión de que, aunque sus resultados relativos a la reducción de la desviación típica eran similares a los de Fisher y Lorie, los beneficios de la diversificación eran menores de los pensados inicialmente. Por ejemplo, una cartera compuesta por 15 títulos conseguía una diversificación del 93% según Fisher y Lorie mientras que para Surz y Price este porcentaje se reducía al 76%. Por tanto, según ellos, ni 30 ni 60 títulos podían alcanzar una diversificación del 95%.

No obstante, más adelante, la conclusión de Tang (2004), similar a la de Wagner y Lau (1971), fue que, para una población infinita de títulos, una cartera compuesta por 20 ya eliminaba el 95% del riesgo no sistemático, mientras que para llegar al 99% se necesitaba añadir 80 títulos más. Sin embargo, para una población finita, se necesitarían menos títulos para alcanzar una diversificación razonable. Aunque de manera distinta, Tang (2004) sí que diferencia entre riesgo sistemático y no sistemático para realizar sus cálculos, sin embargo, sus resultados difieren de los de Surz y Price (2000).

3. Metodología

A continuación, se detalla el procedimiento seguido en el cálculo del porcentaje de riesgo sistemático de cada cartera ya que, como se ha mencionado al principio, a partir de este se obtiene el porcentaje de riesgo no sistemático, que es el restante.

Una manera de obtener el riesgo sistemático de una cartera compuesta por N títulos, es calculando su Coeficiente de Determinación o 𝑅2, que se define estadísticamente como el porcentaje de variación de una variable se explica a partir de otra. Trasladado su significado a la aplicación en este trabajo, 𝑅2 indicaría en qué porcentaje el comportamiento del riesgo de un título viene explicado por el riesgo del mercado.

Para un inversor serán más interesantes aquellos títulos que tengan mayor 𝑅2 y, en consecuencia, mayor riesgo sistemático, ya que es el único componente de riesgo

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que remunera el mercado. El 𝑅2 puede tomar valores que expresados en números enteros estarían entre 0 y 1 o, de manera equivalente, entre 0-100%. Por lo tanto, cuanto más se acerque el valor del 𝑅2 al 100% o al 1, más ajustado es el comportamiento del título frente al del mercado.

El valor de 𝑅2 mediante un análisis de regresión simple se calcula como cuadrado de la correlación entre la cartera P y el índice de referencia Y (en este caso el IBEX 35). Analíticamente, 𝑅2 es el cuadrado del Coeficiente de Correlación de Pearson (𝜌𝑌𝑃) :

𝑅2 = 𝜌	2	= 𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜	(1)
𝑌𝑃

El Coeficiente de Correlación indica el grado de relación existente entre dos variables, pero su valor puede variar de -1 a +1, siendo +1 una correlación perfecta positiva, y -1 una correlación perfecta negativa. Sin embargo, como se ha expuesto anteriormente, 𝑅2 expresa la proporción del comportamiento de una variable respecto de otra.

La correlación de las distintas carteras con el mercado se obtiene con la siguiente expresión:

𝜌	=	𝜎𝑌𝑃	(2)
𝑌𝑃		𝜎𝑌𝜎𝑃

Donde:

𝜎𝑌𝑃 es la covarianza entre el IBEX 35 y la cartera de inversión.

𝜎𝑌𝜎𝑃 son las desviaciones típicas de la cartera de inversión y el IBEX 35, respectivamente.

Para llegar a esta expresión, primero se debe comprender cómo se obtiene la varianza de la cartera, a partir de la cual se calcula su desviación típica, y la covarianza entre ésta y el índice bursátil IBEX 35.

La varianza de una cartera formada por más de un título depende de la varianza individual de estos y de cómo el comportamiento de unos varía en función de otros, es decir, su correlación. Así pues, se calcula como la suma de la varianza de cada uno de los títulos y dos veces cada covarianza existente entre los títulos que forman la cartera (donde N es el número de títulos que forman la cartera). Se expresaría de la siguiente manera:

𝜎2		𝜎2	+𝜎2+..+𝜎2+2𝜎 +2𝜎				+⋯+2𝜎	+2𝜎	+⋯+2𝜎	+⋯+2𝜎
	=	1	2	𝑛	12	13	15	24	25	𝑛	(3)
							𝑁2
𝑃

Para simplificar esta expresión en Excel, el numerador se ha calculado como: 1𝑡𝑉1 donde V es la matriz de varianzas-covarianzas de todas las combinaciones de rendimientos posibles.

Para el cálculo de la covarianza 𝜎𝑌𝑃, que constituye el numerador de la expresión de la correlación, se ha utilizado la siguiente regresión lineal:

̅

1

2

̅̅̅1

̅̅̅2

𝑥𝑖

+ 𝑥𝑖

𝑥

+ 𝑥

̅

̅

∑(𝑌𝑖 − 𝑌) (

−

)

2

2

𝜎𝑌𝑃 =

∑(𝑌𝑖 − 𝑌)(𝑃𝑖 − 𝑃)

=

=

𝑛

𝑛

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̅

1

̅̅̅̅1

2

̅̅̅̅2

̅

1

̅̅̅̅1

̅

2

̅̅̅̅2

𝑥𝑖

−𝑥

𝑥𝑖

−𝑥

𝑥𝑖

−𝑥

𝑥𝑖

−𝑥

∑(𝑌𝑖−𝑌)(

+

)

∑(𝑌𝑖−𝑌)(

)

∑(𝑌𝑖−𝑌)(

)

2

2

2

2

=

+

(4)

𝑛

𝑛

𝑛

De manera simplificada, se calcularía como el promedio de las covarianzas del índice con cada uno de los títulos que forman la cartera. Es decir:

	1	(𝜎𝑌𝑋1	+ 𝜎𝑌𝑋2 +. . +𝜎𝑌𝑋𝑛)	(5)
	𝑛

Volviendo al inicio, una vez calculado el Coeficiente de Correlación, se eleva al cuadrado y se obtiene finalmente el 𝑅2.

𝑅2 = 𝜌	2 = (	𝜎		2	𝜎		2
		𝑌𝑃		) =	𝑌𝑃				= 𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜	(6)
		𝜎	𝜎		𝜎	𝜎
𝑌𝑃								2
		𝑌	𝑃		𝑌	𝑃

Tras el cálculo del 𝑅2, que indica el porcentaje que el riesgo sistemático constituye sobre el total de riesgo de la cartera, se calcula el riesgo no sistemático. Como el riesgo total, cuyo valor sería del 100% o, presentado en forma de número entero de 1, es la suma del riesgo sistemático y no sistemático, el cálculo del riesgo no sistemático se ha realizado de la siguiente manera:

1 − 𝑅2 = 𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜

(7)

Por otro lado, como se observará en el siguiente apartado, para obtener de manera individual el riesgo sistemático y no sistemático de las empresas que forman las distintas carteras se han utilizado las fórmulas del modelo CAPM. Este método también sería aplicable al cálculo del riesgo en las carteras formadas por varios títulos y ha servido como comprobación de los resultados obtenidos por regresión lineal.

4. Selección de los datos

Uno de los conceptos a prestar atención en este trabajo es el entendimiento del papel de los índices bursátiles en los cálculos de los distintos modelos. El papel fundamental de un índice bursátil es dar una percepción general de cómo se comporta el mercado. Por lo tanto, a la hora de calcular la rentabilidad o riesgo de un mercado de valores, siempre se utiliza un índice bursátil como referencia de este.

En el estudio se ha utilizado el índice bursátil por excelencia del mercado español: el IBEX 35. Este índice está formado por las 35 empresas con más liquidez que cotizan en las cuatro bolsas españolas (Madrid, Valencia, Barcelona y Bilbao) a través del Sistema de Interconexión Bursátil Español (SIBE). Estas empresas pertenecen a distintos sectores entre los que encontramos: Energético, Financiero, Inmobiliario, Tecnología y Telecomunicaciones y Construcción. Además, la composición de este índice varía ligeramente en el tiempo ya que las empresas que lo integran, elegidas dos veces al año por el Comité Asesor Técnico (CAT), han de cumplir una serie de

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requisitos de capitalización, liquidez, o volumen de negocio entre otros. Todo ello comporta que produzcan entradas y salidas continuamente (Banco Santander, s.f)

Cabe destacar que el IBEX 35 es un índice ponderado por capitalización bursátil. La correspondiente a cada empresa resulta de la multiplicación del número de acciones de una empresa por el valor de cotización de esta.

En cuanto a su cálculo, la cotización a tiempo real del IBEX 35 se obtiene multiplicando el valor del índice en la sesión anterior por un porcentaje que resulta de dividir la suma total de las capitalizaciones de todas las empresas que lo forman entre las mismas del día anterior. A esto se le suma un valor de ajuste (J) por posibles operaciones financieras o ampliaciones de capital (Bolsa de Madrid, 2021).

La fórmula se expresa de la siguiente manera:

𝐼𝐵𝐸𝑋 35 (𝑡) = 𝐼𝐵𝐸𝑋 35 (𝑡 − 1) ∗	∑𝑖=135 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑡)		(8)
	35	𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑡−1)±𝐽
	∑𝑖=1

El periodo escogido para la realización de este estudio es de 12 años, desde el 2009 hasta el 2020. Como se ha comentado anteriormente, en el IBEX 35 se producen continuamente entradas y salidas de distintas empresas y, por tanto, para poder hacer un análisis de manera correcta, en lugar de 35, se ha trabajado con las 28 empresas que se han mantenido en el índice durante ese periodo de tiempo.

A continuación, como presentación previa a la formación aleatoria de carteras, se muestra una tabla en la que se ha calculado durante todo el periodo escogido las β de las 28 empresas y el porcentaje de riesgo sistemático y no sistemático de cada una a partir del modelo de valoración CAPM. Como se ha mencionado en la metodología, el riesgo de los títulos individuales se ha calculado de manera diferente al riesgo de las carteras aleatorias.

Tomando la expresión del riesgo total presentada por Sharpe (1964):

𝜎2	= 𝛽2𝜎2	+ 𝜎2	(9)
𝑖	𝑀	𝑒𝑖

El porcentaje de riesgo sistemático sobre el total en cada acción se ha calculado de la siguiente manera:

𝜎2		𝛽2𝜎2		𝜎2
𝑖	=	𝑀	+	𝑒𝑖	= 1	(10)
𝜎2				𝜎2
		𝜎2
𝑖		𝑖		𝑖

Por otro lado, cabe recordar que el cálculo de las Betas según estos modelos de valoración es:

	𝛽 =	𝜎𝑖𝑀	(11)
		𝜎2𝑀

Cómo también se ha explicado con anterioridad, el riesgo no sistemático se ha calculado con la expresión: 1 − 𝑅2 = Riesgo no sistemático

Ordenadas de mayor a menor por nivel riesgo, cabe resaltar cómo BBVA estaría clasificada como la empresa más agresiva a los movimientos del mercado con una 𝛽

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promedio de 1,532 y un riesgo sistemático del 83,5% frente al 16,5% de riesgo específico o no sistemático.

Por el contrario, VISCOFAN, sería la acción más defensiva ya que su 𝛽 promedio es de 0,022 siendo su riesgo sistemático del 1% frente al 99% de riesgo individual de la empresa.

Tabla 1. Valores del Ibex 35 ordenados de mayor a menor valor del parámetro 𝛽. Cálculo del riesgo

sistemático y no sistemático individual de cada acción

Empresa	Beta (𝜷)	varp IBEX	varp ei	Riesgo sistem.	Riesgo no sistem.
BBVA	1,532	0,004	0,01	0,835	0,165
MEL	1,511	0,004	0,015	0,571	0,429
SAN	1,471	0,004	0,01	0,789	0,211
SLR	1,328	0,004	0,036	0,177	0,823
SAB	1,32	0,004	0,013	0,473	0,527
CABK	1,241	0,004	0,01	0,588	0,412
MAP	1,204	0,004	0,008	0,632	0,368
BKT	1,198	0,004	0,01	0,537	0,463
REP	1,035	0,004	0,007	0,572	0,428
TEF	1,003	0,004	0,006	0,631	0,369
IBEX	1	0,004	0,004	1	0
ACX	0,948	0,004	0,008	0,394	0,606
FER	0,935	0,004	0,007	0,476	0,524
SGRE	0,92	0,004	0,015	0,204	0,796
ELE	0,895	0,004	0,013	0,219	0,781
COL	0,884	0,004	0,016	0,177	0,823
ANA	0,856	0,004	0,007	0,359	0,641
NTGY	0,839	0,004	0,005	0,473	0,527
IDR	0,828	0,004	0,007	0,364	0,636
IBE	0,787	0,004	0,005	0,502	0,498
CIE	0,779	0,004	0,007	0,298	0,702
PHM	0,751	0,004	0,021	0,096	0,904
ITX	0,673	0,004	0,004	0,394	0,606
ENG	0,656	0,004	0,004	0,36	0,64
FDR	0,584	0,004	0,01	0,123	0,877
REE	0,552	0,004	0,003	0,371	0,629
ALM	0,464	0,004	0,009	0,083	0,917
GRF	0,318	0,004	0,006	0,059	0,941
VIS	0,022	0,004	0,003	0,001	0,999

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70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

0%

0-0,1 0,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8 0,8-0,9 0,9-1

-10%

N=1		N=2		N=5		N=10		N=15

Figura 6. Comparación de la dispersión del riesgo sistemático en carteras de inversión con tamaños N =

1, N = 2, N = 5, N = 10 y N = 15

A la vista de estos resultados, en primer lugar, cabe comentar que Tang (2004) afirmaba en su estudio que, para eliminar el 50% del riesgo no sistemático, bastaba con formar una cartera con 2 títulos independientemente del tamaño de la población. Como hemos podido observar en el desarrollo del trabajo, con una cartera formada por N = 2 títulos se conseguía que, en el total del riesgo, el 50% de riesgo fuera sistemático o de mercado. Por tanto, podría afirmarse que la conclusión de Tang (2004) sobre este aspecto es correcta y aplicable en este caso.

En el caso de carteras formadas por N = 5, Tang (2004) concluyó que para conseguir una diversificación del 75% en una población de entre 20 y 40 títulos, únicamente se necesitaba invertir en 3-4 títulos. Sin embargo, los resultados obtenidos para esta población concreta disienten en este aspecto ya que, aunque se llega a eliminar de promedio un 67,3% del riesgo en carteras formadas por N = 5 títulos, no se llega a obtener ese nivel de diversificación y, tal y como muestra el histograma, (ver Figura 3) menos de la mitad de las carteras, 42 en concreto, llegan a alcanzarlo.

Además, según Tang (2004), las carteras de N = 10 en una población finita de entre 20 y 40 títulos ya deberían de haber eliminado el 95% del riesgo diversificable. Sin embargo, como ya se ha comentado previamente, solo un 2% de las carteras consiguen una diversificación por encima del 90%.

Por otro lado, aunque los valores no concuerden con los obtenidos por Tang (2004) y el resto de los autores, si que se coincide en las conclusiones generales.

Se ha observado que al diversificar las carteras a medida que aumentamos los títulos, el riesgo específico se va eliminando y el sistemático o de mercado va aumentando, tal y como se planteaba en los objetivos al inicio de este trabajo. La reducción marginal de riesgo, sin embargo, es cada vez menor a medida que se aumenta el número de títulos. Así pues, entre carteras de N = 1 y N = 2 títulos, el porcentaje de riesgo de mercado sobre el total aumenta en un 33,93%. Si aumentamos 5 títulos, de N = 5 a N = 10, eliminamos un 15,51% más de riesgo diversificable mientras que, si aumentamos 5 más, entre las carteras de N = 10 y N = 15, se elimina únicamente un 4,72%.

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Además, las conclusiones que podrían extraerse del mercado español son similares a las de Solnik (1974), que ponía de relieve que independientemente del tamaño de la población una cartera de 10-15 títulos eliminaba un 90%. Como se ha desarrollado en el punto anterior, más de la mitad de los títulos en carteras formadas por N = 15 títulos consiguen diversificar entre el 80-90% del riesgo.

Volviendo a la literatura anterior, se va a comprobar en qué medida difieren los resultados que ofrecería el método con el que Fisher y Lorie (1970) calcularon los beneficios de la diversificación y comparar los resultados que arrojarían su modelo, de haberse aplicado.

Como se ha mencionado en el Marco Teórico de este trabajo, y como hicieron Fisher y Lorie (1970) en su trabajo, o Evans y Archer (1968) en la mayoría de libros y estudios, el riesgo total (formado por riesgo sistemático y no sistemático) suele representarse gráficamente como la desviación típica de la cartera y el riesgo sistemático como una constante que equivale al riesgo de mercado, en este caso, la desviación típica del IBEX 35. Con los datos que se tienen del modelo, el riesgo total dividido entre sistemático y no sistemático de las carteras analizadas quedaría representado de la siguiente manera:

Riesgo no sistemático				Riesgo sistemático o de mercado

	0,100
	0,095
	0,090
	0,085
(𝜎)	0,080
TOTAL	0,075
RIESGO	0,070
	0,065
	0,060
	0,055
	0,050
	N = 1	N = 2	N = 5	N = 1 0	N = 1 5

TAMAÑO DE LA CARTERA FORMADA POR N TÍTULOS

Figura 7. Representación del riesgo total como función de la suma de las desviaciones típicas (𝜎) del

IBEX 35 y del promedio de carteras de cada tamaño N

En primera instancia, la Figura 7 muestra unas conclusiones similares a las que se han obtenido en el desarrollo del trabajo: un aumento de títulos disminuye el porcentaje de riesgo no sistemático en la cartera. Sin embargo, la realidad es que, tal y como mencionaron Surz y Price (2000), esta manera de representar la distribución de riesgo en una cartera de inversión no es la correcta. Analizando las conclusiones que arrojan los resultados de la Tabla X, de haberse evaluado de esta manera, una cartera formada por N = 10 títulos ya eliminarían en promedio el 96% de riesgo diversificable y una formada por N = 15 títulos, el 99%. Sin embargo, incrementar la diversificación no es lo mismo que reducir el riesgo (Whitby, 2019).

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Tabla 2. Presentación del riesgo sistemático o de mercado según Fisher y Lorie (1970) como una constante de la desviación típica del IBEX 35. Cálculo de este componente del riesgo sobre el total

Tamaño de la		Riesgo total	Riesgo sistemático		% Riesgo
cartera		(𝝈)			sistemático
					s/total
N=1		0,095	0,060		63%
N=2	0,079		0,060	76%
N=5		0,068	0,060		89%
N=10	0,063		0,060	96%
N=15		0,060	0,060		99%

Por el contrario, la Figura 8 ilustra una manera que resultaría más correcta a la hora de calcular los beneficios de la diversificación de carteras, utilizando un método más adecuado. En el Gráfico 8 el comportamiento es prácticamente idéntico al del Gráfico 7 y se observa cómo el riesgo no sistemático va disminuyendo a medida que aumenta el número de títulos en las carteras. Cabe destacar que, cómo se observa en ambos gráficos, el comportamiento es asintótico y la curva empieza a estabilizarse en las carteras entre 10-15 títulos.

	100,0%
TOTAL	90,0%
	80,0%
EL
SOBRE	70,0%
SISTEMÁTICO	60,0%
	50,0%
	40,0%
NO	30,0%
DE RIESGO
	20,0%
	10,0%
%
	0,0%
	N = 1	N = 2	N = 5	N = 1 0	N = 1 5
		TAMAÑO DE LA CARTERA FORMADA POR N TÍTULOS

Figura 8. Representación de la disminución de riesgo no sistemático o diversificable a medida que

aumenta el tamaño de la cartera

Como muestra la Tabla 3, esta diversificación es menor que la que se obtendría evaluando el riesgo de la forma anterior y en lugar de, por ejemplo, eliminar un 99% del riesgo no sistemático con una cartera formada por N = 15 títulos, se eliminaría un

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81,6%. Por lo consiguiente, en este aspecto se coincide con las conclusiones obtenidas por Surz y Price (2000).

Tabla 3. Presentación de la diversificación del riesgo sistemático o de mercado según la metodología

aplicada en este trabajo mediante el cálculo del 𝑅2

Tamaño de la	Riesgo total	Riesgo sistemático	Riesgo no
cartera			sistemático
N=1	100%	38,4%	61,6%
N=2	100%	51,5%	48,5%
N=5	100%	67,3%	32,7%
N=10	100%	77,7%	22,3%
N=15	100%	81,4%	18,6%

Uno de los objetivos planteados en este trabajo ha sido el de analizar si a medida que se aumenta el número de títulos en carteras aleatorias, la 𝛽 de estas se mantiene estable en el tiempo. Por tanto, se va a comprobar si para el periodo 2009-2020 la estacionariedad de la 𝛽 mejora cuando aumentan el número de títulos de la cartera.

Con el fin de analizar en qué medida el aumento de títulos en una cartera no sólo disminuye el riesgo sistemático de una cartera, si no que aumenta la estacionariedad de las Betas de esta, y, por tanto, la estabilidad de la cartera, se ha aplicado el método introducido por Tole (1981). Sin embargo, aunque este autor realiza los cálculos en un plazo más corto, en este trabajo se han dividido los 12 años en dos periodos de 6 años.

El estudio de Tole fue llevado a cabo a raíz de la necesidad de comprobar que, tal y como sugiere la teoría de inversión, la 𝛽 es una medida adecuada del riesgo de las carteras, una vez se ha eliminado el riesgo no sistemático. Una de las preocupaciones latentes respecto a este tema es que el valor de la 𝛽 podría no ser estacionario y fluctuar en el tiempo.

Esto supondría que el riesgo de una cartera bien diversificada podría variar entre un periodo de tiempo y otro. Porter y Ezzell (1975) estudiaron el comportamiento de la 𝛽 creando carteras de manera aleatoria, concluyendo que sus resultados eran fruto de su elección del método implementado y no del aumento de N.

Como hemos explicado anteriormente, en el Capital Asset Pricing Model (CAPM) se define la variable 𝛽, como medida para evaluar la exposición de un activo al riesgo sistemático. Por lo tanto, con esta fórmula, se han calculado las Betas promedio de dos periodos de 6 años de 100 carteras formadas por 1, 2, 5, 10 y 15 títulos.

Tole (1981) afirma que para que una Beta (𝛽) se pueda considerar estacionaria, es decir, invariable en el tiempo, se deben cumplir dos condiciones:

Condición 1: La Beta (𝛽) histórica o (ex-post) tiene que aproximarse de manera adecuada a la Beta de periodos futuros (ex-ante). Por el contrario, los inversores no podrían utilizarla con fiabilidad como predictor de riesgo futuro.

Condición 2: Dado un horizonte temporal, el valor de la Beta (𝛽) en el futuro debe mantenerse entre determinados límites que podrían considerarse aceptables para los inversores ya que, de no ser así, la cartera podría cambiar de tipo de riesgo.

Una de las hipótesis planteadas por Tole (1981) es que la estacionariedad de la Beta aumenta cuando la desviación típica disminuye. Por tanto, se va a comprobar si

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para dos periodos de 6 años, entre el 2009-2020 la estacionariedad de la 𝛽 mejora y su desviación típica disminuye cuando aumentan el número de títulos de una cartera formada aleatoriamente.

Para comprobar la primera condición, se ha calculado el cambio porcentual promedio del valor de las Betas de un periodo a otro con la siguiente fórmula:

	̅ ̅
∆𝛽̅= |	(𝛽2−𝛽1)	|	(12)
	̅
	𝛽1

Donde:

𝛽1̅representa la Beta histórica o ex-post que recoge el promedio de las Betas entre los 6 primeros años (2009-2014)

𝛽2̅− representa la Beta futuro o ex-ante que recoge el promedio de las Betas entre los 6 primeros años (2015-2020)

Tabla 4. Variación porcentual de las betas según el tamaño de la cartera entre dos periodos temporales

de 6 años

Tamaño de la	% cambio Beta	Máximo	Mínimo
cartera	promedio
1	40,9%	79,8%	2,1%
2	22,7%	115,9%	2,7%
5	12,5%	31,7%	0,01%
10	7,8%	24,2%	0,4%
15	5,7%	18,9%	0,3%

Como puede observarse en la Tabla 4, el cambio promedio de la Beta en carteras formadas por un título es del 41%, mientras que, a medida que se van añadiendo títulos, este cambio se va estabilizando hasta llegar a ser del 5,78% únicamente en carteras formadas por N=15 títulos.

Para comprobar la segunda condición, se ha calculado la desviación típica del promedio de las Betas (𝛽) ex-ante de las carteras. A continuación, se han calculado los intervalos de confianza del 95% entre los que esperamos que se encuentre el verdadero valor de la Beta (𝛽).

Atendiendo al valor promedio de la Betas (𝛽) ex-ante, se puede comprobar cómo sus valores a medida que aumentan los títulos se mantienen prácticamente constantes. Sin embargo, como cabe esperar, tanto la desviación típica como el intervalo de confianza entre el que se encuentra el valor de la Beta (𝛽), se van estrechando a medida que van aumentando el número de títulos de la cartera. Por tanto, se puede concluir que, si por ejemplo, un inversor elige una cartera de 10 títulos, cuya Beta (𝛽) promedio es del 1,05, puede estar seguro al 95% de que el valor de esa Beta (𝛽) se encontrará entre 0,68 y 1,10.

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Tabla 5. Presentación de la desviación típica e intervalos de confianza superior e inferior de las betas ex-

ante con un nivel de confianza del 95% según el tamaño de la cartera

Tamaño de la	Desviación Tipica	Promedio del	Intervalo de
cartera		valor Beta	confianza
1	0,410	0,904	1,61-0,18
2	0,283	0,926	1,39-0,46
5	0,185	0,913	1,18-0,55
10	0,111	0,913	1,10-0,68
15	0,082	0,900	1,04-0,74

Tal y como se ha comentado, el Gráfico 9 muestra claramente cómo los valores promedio se mantienen claramente similares mientras que los intervalos son cada vez menores a medida que aumenta el tamaño de la cartera.

Figura 9. Intervalos de confianza para los valores de las betas ex-ante para un nivel de confianza del 95%

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6. Conclusiones

A lo largo de este estudio se ha podido comprobar cómo evolucionan los beneficios de la diversificación en carteras formadas aleatoriamente por varios títulos. Como muestra el objetivo principal, el fin último de este trabajo es comprobar cómo un aumento de títulos disminuye el riesgo de la cartera y cómo evolucionan los beneficios de la diversificación.

En primer lugar, se puede concluir que, en la construcción de carteras formadas por acciones del IBEX 35, la inclusión de 1 título entre carteras de N=1 y N=2 lleva aparejada una eliminación adicional de riesgo no sistemático del 33,93%. Mientras que, a medida que se van aumentando los títulos, la reducción empieza a ser más marginal hasta el punto de que un aumento de 5 títulos entre las carteras de N=5 y de N=10 supone la eliminación de la mitad del riesgo anterior, un 15,51% y la suma de 5 títulos más, apenas un tercio de éste último, 4,72% concretamente. Por tanto, se puede afirmar que, dando respuesta al segundo objetivo específico, a partir de 10 títulos podría considerarse que los beneficios de la diversificación empiezan a agotarse en carteras formadas por acciones del IBEX 35, ya que la inclusión de 5 títulos más no conlleva una reducción significativa en el riesgo.

Además, tal y como menciona Solnik (1974), puede afirmarse que las discrepancias en las conclusiones entre algunos autores y este trabajo, existen a raíz de la diferencia entre mercados bursátiles y distintos tamaños de población. Por ello, aunque se mida el riesgo sistemático con el 𝑅2, las conclusiones a las que llega este trabajo no son las mismas a las que llegan Surz y Price (2000) cuyo método es el mismo pero realizado sobre la New York Stock Exchange (NYSE).

Por otro lado, también se puede concluir que estas diferencias pueden surgir a raíz del método aplicado y de la interpretación del riesgo de cada autor. Como se ha comprobado en este trabajo con los datos del IBEX 35, la aplicación del método de Fisher y Lorie (1970) demuestra una divergencia con los resultados obtenidos a partir de la metodología de este trabajo. Por lo consiguiente, aún mostrando la misma tendencia y conclusiones respecto a los beneficios de la diversificación, los resultados no son exactamente los mismos. Según el método de Fisher y Lorie (1970) 15 títulos eliminarían de promedio el 99% de riesgo no sistemático frente al 81,4% que se elimina realmente. Por lo tanto, su método daría unos resultados más optimistas aunque más alejados de la realidad.

En cuanto a la dispersión de los valores obtenidos en las cada una de las carteras que forman el promedio de valores en las carteras de N=1, 2, 5, 10 y 15, se ha podido observar como ésta iba disminuyendo y los valores iban confluyendo a medida que se aumentaba el número de títulos.

Cómo se ha analizado en el último apartado del trabajo, otro aspecto importante valorado por el inversor a la hora de elegir con qué títulos formar una cartera es, el parámetro Beta (𝛽). En el último apartado, como estudio adicional, se ha abordado el efecto del aumento de títulos en la cartera sobre la estabilidad de la beta. La conclusión es que, aunque su valor promedio apenas varíe, la estabilidad de la beta de una cartera aumenta a medida que se incluyen nuevos títulos. Con ello, la desviación típica de la cartera y los intervalos entre los que se puede encontrar el verdadero valor de la beta disminuye.

Como consecuencia, puede afirmarse que la diversificación de carteras no solo contribuye a una disminución del riesgo no sistemático o diversificable de la cartera, sino que favorece a una mayor estabilidad de la Beta (𝛽).

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